Question

將函數(shù)f（x）=sin（x+

φ

2

）cos（x+

φ

2

）（φ＞0）的圖象沿x軸向右平移

π

8

個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象．
（1）則φ的最小值是

 

；
（2）過Q（

π

8

，0）的直線l與函數(shù)f（x）的兩個交點(diǎn) M、N的橫坐標(biāo)滿足0＜x_M＜

π

8

，

π

8

＜x_N＜

π

4

，則

ON

•

OQ

-

MO

•

OQ

的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用倍角公式可得：f（x）=

1

2

sin(2x+φ)，（φ＞0）．由于函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向右平移

π

8

個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象．可得f(x-

π

8

)=

1

2

sin(2x-

π

4

+φ)=±

1

2

cos2x，進(jìn)而得出φ的最小值；
（2）由（1）可得：f（x）=

1

2

sin(2x+

3π

4

)，可得f(

π

8

)=0，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)Q（

π

8

，0）中心對稱．由于過Q（

π

8

，0）的直線l與函數(shù)f（x）的兩個交點(diǎn) M、N的橫坐標(biāo)滿足0＜x_M＜

π

8

，

π

8

＜x_N＜

π

4

，可得

ON

+

OM

=2

OQ

．再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

sin(2x+φ)，（φ＞0）．
∵函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向右平移

π

8

個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象．
∴f(x-

π

8

)=

1

2

sin(2x-

π

4

+φ)=±

1

2

cos2x，
∴2x-

π

4

+φ=2x-

π

2

+2kπ或2x-

π

4

+φ=2kπ+π-(

π

2

-2x)，k∈Z．
解得φ的最小值為：

3π

4

．
（2）由（1）可得：f（x）=

1

2

sin(2x+

3π

4

)，
∴f(

π

8

)=0，
因此函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)Q（

π

8

，0）中心對稱，
∵過Q（

π

8

，0）的直線l與函數(shù)f（x）的兩個交點(diǎn) M、N的橫坐標(biāo)滿足0＜x_M＜

π

8

，

π

8

＜x_N＜

π

4

，
∴

ON

+

OM

=2

OQ

．
∴

ON

•

OQ

-

MO

•

OQ

=2

OQ

2=2×(

π

8

)2=

π2

32

．
故答案分別是：

3π

4

，

π2

32

．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象變換、倍角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．