Question

4．如圖，四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$的等腰三角形，M為VC邊中點(diǎn)．
（1）求證：VA∥平面BDM；
（2）試畫出二面角V-AB-C的平面角，并求它的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OM，推導(dǎo)出OM∥VA，由此能證明VA∥平面BDM．
（2）取AB中點(diǎn)E、CD中點(diǎn)F，連結(jié)VE、VF、EF，從而∠VEF是二面角V-AB-F的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的平面角．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OM，
∵四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴O是AC的中點(diǎn)，∵M(jìn)為VC邊中點(diǎn)，∴OM∥VA，
∵OM?平面BDM，VA?平面BDM，
∴VA∥平面BDM．
解：（2）取AB中點(diǎn)E、CD中點(diǎn)F，連結(jié)VE、VF、EF，
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是
側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$的等腰三角形，
∴EF⊥AB，VE⊥AB，
∴∠VEF是二面角V-AB-F的平面角，
由題意得EF=2，VE=VF=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴△VEF是等邊三角形，∴∠VEF=60°，
∴二面角V-AB-C的平面角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平面平行的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．