Question

20．一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示（單位：m）．求它的表面積和體積．

Answer 1

分析 （1）由三視圖可知該幾何體為棱柱，底面為直角梯形，上下底邊長分別為1和2，高為1，側(cè)棱垂直于底面，長為1．由此可畫出直觀圖．
（2）分別求出個面的面積，之和即為表面積；
法一：將該幾何體看作一個長方體被截去一個角，而且被截去的部分為一直三棱柱，利用長方體和棱柱的體積公式求解即可．
法二：該幾何體為直四棱柱，體面為直角梯形，故利用棱柱的體積公式求解即可

解答 解：（1）由三視圖可知該幾何體為棱柱，底面為直角梯形，上下底邊長分別為1和2，高為1，側(cè)棱垂直于底面，長為1．直觀圖如圖所示：
（2）法一：由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個角，且該幾何體的體積是以A₁A，A₁D₁，A₁B₁為棱的長方體的體積的 $\frac{3}{4}$，
在直角梯形AA₁B₁B中，作BE⊥A₁B₁于E，則AA₁EB是正方形，
∴AA₁=BE=1．
在Rt△BEB₁中，BE=1，EB₁=1，
∴BB₁=$\sqrt{2}$．
∴幾何體的表面積S=S_{正方形AA1D1D}+2S_梯形AA1B1B+S_矩形BB1C1C+S_{正方形ABCD}+S_矩形A1B₁C₁D₁
=1+2×$\frac{1}{2}$×（1+2）×1+1×$\sqrt{2}$+1+1×2
=7+$\sqrt{2}$（m²）．
∴幾何體的體積V=$\frac{3}{4}$×1×2×1=$\frac{3}{2}$（m³），
∴該幾何體的表面積為（7+$\sqrt{2}$）m²，體積為 $\frac{3}{2}$m³．
法二：幾何體也可以看作是以AA₁B₁B為底面的直四棱柱，其表面積求法同法一，
V_{直四棱柱D1C1CD-A1B1BA}=Sh
=$\frac{1}{2}$×（1+2）×1×1=$\frac{3}{2}$（m³）．
∴幾何體的表面積為（7+$\sqrt{2}$）m²，體積為 $\frac{3}{2}$m³．

點評 本題考查空間幾何體的三視圖、直觀圖、及幾何體的表面積和體積，考查空間想象能力和運算能力