Question

9．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四邊形CDEF為正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若點(diǎn)G是棱AB的中點(diǎn)，求證：EG∥平面BDF；
（Ⅱ）求直線AE與平面BDF所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段FC上是否存在點(diǎn)H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求$\frac{FH}{HC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）求出CD=1，證明四邊形EFBG是平行四邊形得出EG∥BF即可得出EG∥平面BDF；
（II）建立空間坐標(biāo)系，求出平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{AE}$的坐標(biāo)，則直線AE與平面BDF所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|；
（III）假設(shè)存在H點(diǎn)滿足條件，求出平面HAD的法向量$\overrightarrow{m}$，令$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，根據(jù)方程是否有解得出結(jié)論．

解答 （I）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，
∴CD=AB-2ADcos60°=1，即CD=$\frac{1}{2}$AB．
∵CD$\stackrel{∥}{=}$EF，CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，又BG=$\frac{1}{2}$AB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BG，
∴四邊形EFBG是平行四邊形，
∴EG∥BF，
又EG?平面BDF，BF?平面BDF，
∴EG∥平面BDF
（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD=$\sqrt{1+4-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD．
以D為原點(diǎn)，以直線DA，DC，DE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖所示：
則A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），F(xiàn)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
∴$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
設(shè)平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
設(shè)直線AE與平面BDF所成角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（3）解：設(shè)H（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，h），（0≤h≤1）
當(dāng)h=0時，顯然平面BDF與平面HAD不垂直，
則$\overrightarrow{DH}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，h），$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），
設(shè)平面HAD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DH}=0$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+hz=0}\\{x=0}\end{array}\right.$，令y=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\frac{3}{2h}$）．
假設(shè)存在點(diǎn)H，使得平面BDF⊥平面HAD，則$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{3}{2h}$=0，方程無解．
∴線段FC上不存在點(diǎn)H，使平面BDF⊥平面HAD．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，空間向量與空間角，空間位置的關(guān)系，屬于中檔題．