Question

3．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+bx²+cx+bc．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值-$\frac{4}{3}$，試確定b、c的值；
（Ⅱ）若b=1，f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1處有極值，建立關(guān)于b和c方程組，解之即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出c的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-x²+2bx+c，
∵f（x）在x=1處有極值-$\frac{4}{3}$，
∴f（1）=-$\frac{1}{3}$+b+c+bc=-$\frac{4}{3}$，f'（1）=-1+2b+c=0，
解得：b=1，c=-1（舍去），或b=-1，c=3，
故b=-1，c=3；
（Ⅱ）b=1時，f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+cx+c，
f′（x）=-x²+2x+c，
若f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間，
則△=4+4c＞0，解得：c＞-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．