Question

【題目】已知橢圓的焦點和長軸長.

（1）設直線交橢圓于兩點，求線段的中點坐標.

（2）求過點的直線被橢圓所截弦的中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），其中

【解析】

（1）根據(jù)焦點坐標得出橢圓的焦點在x軸上，由橢圓的焦點坐標得出c的值，再由長軸的值求出a的值，進而利用橢圓的性質(zhì)求出b的值，確定出橢圓的標準方程，與直線y＝x+2聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，設出兩交點A與B的坐標，利用根與系數(shù)的關系求出兩根之和，即為兩交點橫坐標之和，利用中點坐標公式即可求出AB中點M的橫坐標，代入直線方程可得M的縱坐標，進而確定出線段AB的中點坐標；

（2）設過點（0，2）的直線方程的斜率為k，表示出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，由直線與橢圓有兩個不同的交點，得到根的判別式大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，設出直線與橢圓的兩交點坐標，利用韋達定理表示出兩交點橫坐標之和，利用中點坐標公式表示出線段AB中點C的橫坐標，代入直線方程可得C的縱坐標，消去參數(shù)k即可得到所求的軌跡方程．

（1）由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中，從而，

所以其標準方程是:

聯(lián)立方程組，消去得,

設線段中點為

那么

所以

也就是說線段中點坐標為

（2）設直線方程為

把它代入

整理得:

要使直線和橢圓有兩個不同交點，則，即

設直線與橢圓兩個交點為

中點坐標為，則

從參數(shù)方程，

消去得：，且

綜上，所求軌跡方程為，其中