【題目】已知函數(shù)，（是的導函數(shù)），在上的最大值為.

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在內(nèi)的極值點個數(shù)，并加以證明.

【答案】（1）（2）在上共有兩個極值點，詳見解析

【解析】

（1）先求得，再求得，再討論的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值即可得解；

（2）利用（1）的結論，結合，，由零點定理可在上有且僅有一個變號零點；再當時，由導數(shù)的應用可使，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再結合特殊變量所對應的函數(shù)值的符號可得在上有且僅有一個變號零點，綜合即可得解.

解：（1）由

則，

則，

①當時，不合題意，舍去.

②當時，∴在上單調(diào)遞減，∴，不合題意，舍去.

③當時，∴在上單調(diào)遞增，∴，解得，

∴綜上：.

（2）由（Ⅰ）知，，

當時，在上單調(diào)遞增，，，

∴在上有且僅有一個變號零點；

當時，，∴在上單調(diào)遞減.

又，，

∴使且當時，當時，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又，，，∴在上有且僅有一個變號零點.

∴在和上各有一個變號零點，∴在上共有兩個極值點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】眾所周知，城市公交車的數(shù)量太多會造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客的需求，為此，某市公交公司在某站臺的50名候車乘客中隨機抽取10名，統(tǒng)計了他們的候車時間（單位：分鐘），得到下表.

候車時間

人數(shù)

1

4

2

2

1

（1）估計這10名乘客的平均候車時間（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；

（2）估計這50名乘客的候車時間少于10分鐘的人數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦點和長軸長.

（1）設直線交橢圓于兩點，求線段的中點坐標.

（2）求過點的直線被橢圓所截弦的中點的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：

（1）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點；

（2）經(jīng)過點，且與雙曲線有共同的漸近線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，，E，F分別是棱PC，AB的中點.

（1）求證：平面PAD；

（2）若，求直線EF與平面PAB所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，有一塊半徑為20米，圓心角的扇形展示臺，展示臺分成了四個區(qū)域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次在這四個區(qū)域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜.預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是：泥金香50元/米，紫龍臥雪30元/米，朱砂紅霜40元/米.

（1）設，試建立日效益總量關于的函數(shù)關系式；

（2）試探求為何值時，日效益總量達到最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某地區(qū)年齡在25～55歲的人員中，隨機抽出100人，了解他們對今年兩會的熱點問題的看法，繪制出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A. 抽出的100人中，年齡在40～45歲的人數(shù)大約為20

B. 抽出的100人中，年齡在35～45歲的人數(shù)大約為30

C. 抽出的100人中，年齡在40～50歲的人數(shù)大約為40

D. 抽出的100人中，年齡在35～50歲的人數(shù)大約為50

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)將甲、乙、丙、丁四個人安排到座位號分別是的四個座位上，他們分別有以下要求，

甲：我不坐座位號為和的座位；

乙：我不坐座位號為和的座位；

丙：我的要求和乙一樣；

丁：如果乙不坐座位號為的座位，我就不坐座位號為的座位.

那么坐在座位號為的座位上的是（ ）

A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

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