【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),.
(1)求a的范圍;
(2)證明:.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)分類討論參數(shù)的范圍,利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),得出的范圍;
(2)不妨設(shè),由(1)可知,,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,得出等價(jià)于,即,構(gòu)造函數(shù),,求出,即可得出結(jié)論.
(1)
當(dāng)時(shí),;
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
,且當(dāng)x→﹣∞時(shí),f(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,
則函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,
當(dāng)時(shí),或;
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
結(jié)合可知,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí),或;
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
結(jié)合,可知,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=xex只有一個(gè)零點(diǎn)x=0,不合題意;
綜上,.
(2)不妨設(shè),由(1)可知,
在上單調(diào)遞減
等價(jià)于,即
由于,而
則
設(shè),,則
則函數(shù)在上單調(diào)遞減,
即,從而
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位:分)的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)的值;
(2)估計(jì)20名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù);
(3)從成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中任選2人,求此2人的成績(jī)不都在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路,湖上有橋(是圓的直徑).規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn),并修建兩段直線型道路.規(guī)劃要求:線段上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和(為垂足),測(cè)得,,(單位:百米).
(1)若道路與橋垂直,求道路的長(zhǎng);
(2)在規(guī)劃要求下,和中能否有一個(gè)點(diǎn)選在處?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角△ABC中,∠BAC≠60°,過點(diǎn)B、C分別作△ABC外接圓的切線BD、CE,且滿足,直線DE與AB、AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)F、G、CF與BD交于點(diǎn)M,CE與BG交于點(diǎn)N.證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B以及CD的中點(diǎn)P處,已知AB=20km,CB=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD內(nèi)(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km.
(I)設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
(II)確定污水處理廠的位置,使三條排污管道的總長(zhǎng)度最短,并求出最短值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年1月8日,中共中央國務(wù)院隆重舉行國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)大會(huì),在科技界引發(fā)熱烈反響,自主創(chuàng)新正成為引領(lǐng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的強(qiáng)勁動(dòng)力.某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料,由大數(shù)據(jù)測(cè)得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y與這種新材料的含量x(單位:克)的關(guān)系為:當(dāng)時(shí),y是x的二次函數(shù);當(dāng)時(shí),測(cè)得數(shù)據(jù)如下表(部分):
x(單位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品中的新材料含量x為何值時(shí),產(chǎn)品的性能指標(biāo)值最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ADC=90°,DC=AB,F(xiàn),M分別是線段PC,PB的中點(diǎn).
(1)在線段AB上找出一點(diǎn)N,使得平面CMN∥平面PAD,并給出證明過程;
(2)若PA=AB,DC=AD,求二面角C—AF—D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】山東省于2015年設(shè)立了水下考古研究中心,以此推動(dòng)全省的水下考古、水下文化遺產(chǎn)保護(hù)等工作;水下考古研究中心工作站,分別設(shè)在位于劉公島的中國甲午戰(zhàn)爭(zhēng)博物院和威海市博物館。為對(duì)劉公島周邊海域水底情況進(jìn)行詳細(xì)了解,然后再選擇合適的時(shí)機(jī)下水探摸、打撈,省水下考古中心在一次水下考古活動(dòng)中,某一潛水員需潛水米到水底進(jìn)行考古作業(yè),其用氧量包含以下三個(gè)方面:
①下潛平均速度為米/分鐘,每分鐘的用氧量為升;
②水底作業(yè)時(shí)間范圍是最少10分鐘最多20分鐘,每分鐘用氧量為0.4升;
③返回水面時(shí),平均速度為米/分鐘,每分鐘用氧量為0.32升.
潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為升.
(Ⅰ)如果水底作業(yè)時(shí)間是分鐘,將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)若,水底作業(yè)時(shí)間為20分鐘,求總用氧量的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形中,,,,,分別是,的中點(diǎn),將四邊形沿直線進(jìn)行翻折,給出下列四個(gè)結(jié)論:①;②③平面平面;④平面平面,則上述結(jié)論可能正確的是( ).
A.①③B.②③C.②④D.③④
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