Question

13．在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，且$2asinB=\sqrt{3}b$．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=3，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理可得：2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，又sinB≠0，解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結合△ABC是銳角三角形，即可得A的值．
（Ⅱ）化簡可得sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），即可求△ABC周長的最大值，得解．

解答 解：（Ⅰ）由$2asinB=\sqrt{3}b$，根據(jù)正弦定理可得：2sinAsinB=$\sqrt{3}$sinB，
又∵sinB≠0，
∴解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是銳角三角形，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理可得b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∵sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∴周長為$l=6sin（B+\frac{π}{6}）+3（\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}）$，
當$B=\frac{π}{3}$時，l_max=9．（此時△ABC為等邊三角形）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．