Question

9．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}}$，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．
（1）寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）若點P是曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值，并求出此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可以先消參數(shù)，求出直線l的普通方程，再利用公式將曲線C的極坐標(biāo)方程化成平面直角坐標(biāo)方程；
（2）利用點到直線的距離公式，求出P到直線l的距離的最小值，再根據(jù)函數(shù)取最值的情況求出P點的坐標(biāo)，得到本題結(jié)論．

解答 解：（1）$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}}\right.，（t為參數(shù)）$，消去參數(shù)可得x-y=1
直線l的極坐標(biāo)方程為$ρcosθ-ρsinθ=1即\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=1$…．（3分）
由$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．得ρcos²θ=sinθ⇒ρ²cos²θ=ρsinθ
得y=x²（x≠0）…..（5分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則${y_0}={x_0}^2（x≠0）$
點P到直線l的距離為$d=\frac{{|{x_0}-{y_0}-1|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{x_0}-{x_0}^2-1|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|-{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}-\frac{3}{4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{{{（{x_0}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{3}{4}}}{{\sqrt{2}}}$
當(dāng)${x_0}=\frac{1}{2}時{d_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}，此時P（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$…..（8分）
當(dāng)$P（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$P到直線l的距離最小，最小${d_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$…．（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為平面直角坐標(biāo)方程、點到直線的距離公式，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．