Question

14．已知命題p：$\frac{a-2}{a}$＞2，命題q：?x∈[1，2]，x²-ax+1＞0．若p∧q與?q同時為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p∧q與?q同時為假命題，則p假且q真，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：$\frac{a-2}{a}$＞2得：-2＜a＜0，
故命題p：?-2＜a＜0，
命題q：?x∈[1，2]，x²+1＞ax$??x∈[{1，2}]，\frac{{{x^2}+1}}{x}＞a$$?（{\frac{{{x^2}+1}}{x}}）max＞a$?$\frac{5}{2}＞a$
因p∧q與?q同時為假命題，所以p假且q真
又?p：a≤-2或a≥0，所以實數(shù)a滿足$\left\{\begin{array}{l}a≤-2或a≥0\\ a＜\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
故實數(shù)a滿足$a≤-2或[{0，\frac{5}{2}}）$．

點評 本題以命題的真假與應用為載體，考查復合命題，分式不等式解法，存在性問題，難度中檔．