Question

20．若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，中心角為$\frac{5π}{3}$的扇形，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{{5\sqrt{11}}}{18}$
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{{5\sqrt{11}}}{9}$

Answer 1

分析 求出圓錐的母線和底面半徑，設(shè)截面在圓錐底面的軌跡AB=a，（0＜a≤2r），用a表示出截面的面積，利用基本不等式求出截面的面積最大值．

解答 解：圓錐的母線長(zhǎng)l=2，設(shè)圓錐的底面半徑為r，
則2πr=2×$\frac{5π}{3}$=$\frac{10π}{3}$．∴r=$\frac{5}{3}$．
設(shè)截面在圓錐底面的軌跡AB=a（0＜a≤$\frac{10}{3}$）．
則截面等腰三角形的高h(yuǎn)=$\sqrt{{l}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$．
∴截面面積S=$\frac{1}{2}ah$=$\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}（4-\frac{{a}^{2}}{4}）}$≤$\frac{4}{2}$=2．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{4}=4-\frac{{a}^{2}}{4}$即a=2$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．