Question

10．設a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，n∈N^*，則數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*．

Answer 1

分析 根據遞推關系，分別求出b₁，b₂，b₃，b₄的值，由此猜想b_n=2ⁿ⁺¹，并用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 解：a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，n∈N，
當n=1時，b₁=$\frac{|2+2|}{|2-1|}$=4=2²，a₂=$\frac{2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
當n=2時，b₂=$\frac{|\frac{2}{3}+2|}{|\frac{2}{3}-1|}$=8=2³，a₃=$\frac{2}{\frac{2}{3}+1}$=$\frac{6}{5}$，
當n=3時，b₃=|$\frac{\frac{6}{5}+2}{\frac{6}{5}-1}$|=16=2⁴，a₄=$\frac{2}{\frac{6}{5}+1}$=$\frac{10}{11}$，
則b₃=32=2⁴，
由此猜想b_n=2ⁿ⁺¹，
用數(shù)學歸納法證明，①當n=1時，成立，
②假設當n=k時成立，即b_k+1=2^k+2，
∵a_k+1=$\frac{2}{{a}_{k}+1}$，b_k=|$\frac{{a}_{k}+2}{{a}_{k}-1}$|，
∴b_k+1=|$\frac{{a}_{k+1}+2}{{a}_{k+1}-1}$|=|$\frac{\frac{2}{{a}_{k}+1}+2}{\frac{2}{{a}_{k}+1}-1}$|=|$\frac{2（{a}_{k}+2）}{{a}_{k}-1}$|=2b_k=2^k+2，
故當n=k+1時猜想成立，
由①②可知，b_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*．
故答案為：2ⁿ⁺¹，n∈N^*．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，猜想數(shù)列的通項公式，用數(shù)學歸納法，屬于中檔題．