Question

10．設(shè)a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，n∈N^*，則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*．

Answer 1

分析 根據(jù)遞推關(guān)系，分別求出b₁，b₂，b₃，b₄的值，由此猜想b_n=2ⁿ⁺¹，并用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，n∈N，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=$\frac{|2+2|}{|2-1|}$=4=2²，a₂=$\frac{2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)n=2時(shí)，b₂=$\frac{|\frac{2}{3}+2|}{|\frac{2}{3}-1|}$=8=2³，a₃=$\frac{2}{\frac{2}{3}+1}$=$\frac{6}{5}$，
當(dāng)n=3時(shí)，b₃=|$\frac{\frac{6}{5}+2}{\frac{6}{5}-1}$|=16=2⁴，a₄=$\frac{2}{\frac{6}{5}+1}$=$\frac{10}{11}$，
則b₃=32=2⁴，
由此猜想b_n=2ⁿ⁺¹，
用數(shù)學(xué)歸納法證明，①當(dāng)n=1時(shí)，成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即b_k+1=2^k+2，
∵a_k+1=$\frac{2}{{a}_{k}+1}$，b_k=|$\frac{{a}_{k}+2}{{a}_{k}-1}$|，
∴b_k+1=|$\frac{{a}_{k+1}+2}{{a}_{k+1}-1}$|=|$\frac{\frac{2}{{a}_{k}+1}+2}{\frac{2}{{a}_{k}+1}-1}$|=|$\frac{2（{a}_{k}+2）}{{a}_{k}-1}$|=2b_k=2^k+2，
故當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立，
由①②可知，b_n=2ⁿ⁺¹，n∈N^*．
故答案為：2ⁿ⁺¹，n∈N^*．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題．