Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-8lnx+3．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，4）處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得f′（1），從而由直線的點(diǎn)斜式可得函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線在點(diǎn)（1，4）處的切線方程；
（2）通過f′（x）＞0可求其遞增區(qū)間，通過f′（x）＜0可求其單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-8lnx+3，
∴f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-8}{x}$（x＞0），
∴f′（1）=-6，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，4）處的切線方程為y-4=-6（x-1），即6x+y-10=0；
（2）令f′（x）＞0，可得x＞2，f′（x）＜0，可得0＜x＜2，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于中檔題．