Question

8．已知不等式ax²+bx+c＞0的解是α＜x＜β，其中β＞α＞0，求不等式cx²+bx+a＜0的解．

Answer 1

分析 先利用不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）的解為α＜x＜β，其中β＞α＞0，求出系數(shù)a＜0，c＜0以及α+β=-$\frac{a}$，αβ=$\frac{c}{a}$，再把cx²+bx+a=0的兩根用α，β表示出來(lái)，再利用c＜0，即可求出不等式cx²+bx+a＜0的解．

解答 解：因?yàn)椴坏仁絘x²+bx+c＞0（a≠0）的解為α＜x＜β，其中β＞α＞0，
所以有α+β=-$\frac{a}$，α•β=$\frac{c}{a}$，且a＜0，c＜0．
即有b=-a（α+β），c=aαβ，
不等式cx²+bx+a＜0即為aαβx²-a（α+β）x+a＜0，
即為αβx²-（α+β）x+1＞0，
即有（αx-1）（βx-1）＞0，
由β＞α＞0，可得$\frac{1}{α}$＞$\frac{1}{β}$，
可得不等式cx²+bx+a＜0的解為x＞$\frac{1}{α}$或x＜$\frac{1}{β}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式的解法及其應(yīng)用..一元二次不等式的解集由對(duì)應(yīng)函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)應(yīng)方程的根共同決定．所以在解一元二次不等式時(shí)，一定要確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的開(kāi)口方向．