Question

8．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于點A，B兩點，且直線l與圓x²-px+y²-$\frac{3}{4}{p^2}$=0交于C，D兩點，若|AB|=2|CD|，則直線l的斜率為（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． ±1
• D． $±\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由F$（\frac{p}{2}，0）$，由x²-px+y²-$\frac{3}{4}{p^2}$=0配方為：$（x-\frac{p}{2}）^{2}$+y²=p²，可得：|CD|=2p．設直線l的方程為y=k$（x-\frac{p}{2}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線方程聯(lián)立化為：x²-$（p+\frac{2p}{{k}^{2}}）$x+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，利用根與系數(shù)的關系及其拋物線的定義可得：|AB|=x₁+x₂+p=2p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$．利用|AB|=2|CD|，即可得出．

解答 解：由F$（\frac{p}{2}，0）$，由x²-px+y²-$\frac{3}{4}{p^2}$=0配方為：$（x-\frac{p}{2}）^{2}$+y²=p²，可得：|CD|=2p．
設直線l的方程為y=k$（x-\frac{p}{2}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化為：x²-$（p+\frac{2p}{{k}^{2}}）$x+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$．
∴|AB|=x₁+x₂+p=2p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$．
由|AB|=2|CD|，∴2p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$=4p．，可得k²=1，解得k=±1．
故選：C．

點評 本題考查了拋物線與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．