Question

20．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{a}{2}{x}^{2}$+（a-1）x+lnx．
（Ⅰ）若a＞-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞1，求證：（2a-1）f（x）＜3e^a-3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，令f′（x）=0，解得x₁、x₂，再進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)小于0，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）a＞1，由函數(shù)單調(diào)性可知，f（x）在x=1取極大值，也為最大值，f（x）_max=$\frac{1}{2}$a-1，因此（2a-1）f（x）≤（2a-1）（$\frac{1}{2}$a-1），構(gòu)造輔助函數(shù)g（a）=$\frac{（2a-1）（\frac{1}{2}a-1）}{{e}^{a-3}}$，求導(dǎo)，求出g（a）的單調(diào)區(qū)間及最大值$\frac{9}{2\sqrt{e}}$，$\frac{9}{2\sqrt{e}}$＜$\frac{9}{3}$=3，可知g（a）＜3，e^a-3＞0，即可證明（2a-1）f（x）＜3e^a-3．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-$\frac{a}{2}{x}^{2}$+（a-1）x+lnx，x＞0
當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)f（x）=-x+lnx，
f′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，
令f′（x）=0，解得：x=1，
當(dāng)0＜x＜1，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)a≠0，則f′（x）=-ax+（a-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{-a{x}^{2}+（a-1）x+1}{x}$，
令f′（x）=0，解得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{a}$，
當(dāng)-$\frac{1}{a}$＞1，解得-1＜a＜0，
∴-1＜a＜0，f′（x）＞0的解集為（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞），
f′（x）＜0的解集為（1，-$\frac{1}{a}$），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，-$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)-$\frac{1}{a}$＜1，解得a＞0，
∴a＞0，f′（x）＞0的解集為（0，1），
f′（x）＜0的解集為（1，+∞）；
∴當(dāng)a＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
綜上可知：-1＜a＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，-$\frac{1}{a}$）；
a≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅱ）證明：∵a＞1，故由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），
∴f（x）在x=1時(shí)取最大值，并且也是最大值，即f（x）_max=$\frac{1}{2}$a-1，
又∵2a-1＞0，
∴（2a-1）f（x）≤（2a-1）（$\frac{1}{2}$a-1），
設(shè)g（a）=$\frac{（2a-1）（\frac{1}{2}a-1）}{{e}^{a-3}}$，g′（a）=-$\frac{（2{a}^{2}-9a+7）}{2{e}^{a-3}}$=-$\frac{（a-1）（2a-7）}{2{e}^{a-3}}$，
∴g（a）的單調(diào)增區(qū)間為（2，$\frac{7}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{7}{2}$，+∞），
∴g（a）≤g（$\frac{7}{2}$）=$\frac{6×\frac{3}{4}}{{e}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{9}{2\sqrt{e}}$，
∵2$\sqrt{e}$＞3，
∴$\frac{9}{2\sqrt{e}}$＜$\frac{9}{3}$=3，
∴g（a）＜3，
e^a-3＞0，
∴（2a-1）f（x）＜3e^a-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及單調(diào)性區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．