5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{{{4^x}-1}}+2a$是奇函數(shù)
(1)求常數(shù)a的值
(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性,并給出證明.

分析 (1)由函數(shù)解析式求出定義域,由奇函數(shù)的性質(zhì)得f(1)+f(-1)=0,代入列出方程求出a的值;
(2)由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性先判斷,利用函數(shù)單調(diào)性的定義:取值、作差、變形、定號、下結(jié)論證明.

解答 解:(1)∵$f(x)=\frac{1}{{4}^{x}-1}+2a$是奇函數(shù),
∴定義域是{x|x≠0},f(1)+f(-1)=0,
則$\frac{1}{4-1}+2a+\frac{1}{{4}^{-1}-1}+2a=0$,
解得a=$\frac{1}{4}$;
(2)由(1)得,$f(x)=\frac{1}{{4}^{x}-1}+\frac{1}{2}$,
則f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是減函數(shù),
證明如下:任取0<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}+\frac{1}{2}$-($\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}+\frac{1}{2}$)
=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{({4}^{{x}_{1}}-1)({4}^{{x}_{2}}-1)}$,
∵x1,x2∈(0,+∞),∴${4}^{{x}_{1}}-1$>0,${4}^{{x}_{2}}-1$>0,
又x1<x2,則${4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}$>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,則f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
當x1,x2∈(-∞,0)時,同理可證f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),
 綜上知,函數(shù)f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是減函數(shù).

點評 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì),利用函數(shù)單調(diào)性的定義:取值、作差、變形、定號、下結(jié)論,證明函數(shù)的單調(diào)性,以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查化簡、變形能力.

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