Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x^e}{e^x}$，g（x）=xlnx-x+1，正實(shí)數(shù)m，n滿足|mf（x₁）-ng（x₂）|≤1對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]恒成立，則m+n的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{e}+1$
• B． e+1
• C． 2e+1
• D． $\frac{1}{e}+2$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ng（x₂）-1≤mf（x₁）≤ng（x₂）+1，求出m+n的最大值即可．

解答 解：$f′（x）=\frac{{{x^{e-1}}（e-x）}}{e^x}$，g′（x）=lnx，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≥0，g′（x）≥0，
∴f（x），g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴$f（x）∈[\frac{1}{e}，1]$，g（x）∈[0，1]，
|mf（x₁）-ng（x₂）|≤1
?ng（x₂）-1≤mf（x₁）≤ng（x₂）+1，
依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{mf{{（x）}_{max}}≤ng{{（x）}_{min}}+1}\\{mf{{（x）}_{min}}≥ng{{（x）}_{max}}-1}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{m≤1}\\{\frac{m}{e}≥n-1}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{m≤1}\\{en-m≤e}\end{array}}\right.$，
∴$m+n=\frac{1}{e}（en-m）+（1+\frac{1}{e}）m≤2+\frac{1}{e}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．