Question

18．我國政府對PM 2.5采用如表標準：

PM 2.5日均值m（微克/立方米）	空氣質(zhì)量等級
m＜35	一級
35≤m≤75	二級
m＞75	超標

某市環(huán)保局從一年365天的市區(qū)PM 2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
（1）用樣本數(shù)據(jù)來估計全年大概有多少天空氣質(zhì)量超標？
（2）求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）從樣本數(shù)據(jù)中任取2天的數(shù)據(jù)，記ξ為這2天里空氣質(zhì)量達到一級的天數(shù)，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)及莖葉圖，全年空氣質(zhì)量超標的大概有：365×0.2=73天，
（2）由莖葉圖即可求得樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）確定隨機變量ξ服從ξ～H（10，4，2），利用P（ξ=k）=$\frac{{C}_{4}^{k}{C}_{6}^{2-k}}{{C}_{10}^{2}}$，求解概率得出分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（1）全年空氣質(zhì)量超標的大概有：365×0.2=73天，
（2）10天的中位數(shù)為$\frac{1}{2}$×（38+44）=41（微克/立方米），
（3）由ξ服從ξ～H（10，4，2），
∴P（ξ=k）=$\frac{{C}_{4}^{k}{C}_{6}^{2-k}}{{C}_{10}^{2}}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

∴數(shù)學期望E（ξ）=$\frac{4×2}{10}$=$\frac{4}{5}$

點評 本題考查中位數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法和應用，解題時要注意莖葉圖的合理運用，充分利用樣本估計總體解決，屬于中檔題．