Question

9．已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)（1，0），且于直線x=-1相切．
（1）求圓心C的軌跡M的方程；
（2）A，B是M上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用動(dòng)圓C過點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切，可得圓心C的軌跡M是以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，即可得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）先設(shè)點(diǎn)A，BD的坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在拋物線y²=4x上，代入拋物線方程，找出每個(gè)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，再因?yàn)?\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，得到x₁x₂+y₁y₂=-4，設(shè)直線AB的方程為x=my+t，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，可求t的值，即可求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）動(dòng)圓C過點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切，
∴圓心C的軌跡M是以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，
∴圓心C的軌跡M的方程為y²=4x；
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．       
∵A，B在拋物線y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，即x₁+x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$．
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4，
∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$+y₁y₂=-4，
∴y₁y₂=-8．    
設(shè)直線AB的方程為x=my+n，
聯(lián)立消元得：y²-4my-4n=0，則：y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
∴-4n=-8⇒n=2，∴直線AB的方程為x=my+2，
∴直線AB恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直接法求軌跡方程，以及直線與拋物線相交關(guān)系的判斷，關(guān)鍵在于若何找到各參數(shù)之間的關(guān)系，減少參數(shù)的個(gè)數(shù)．