Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為等邊三角形且側(cè)棱與底面垂直，E是棱BB₁上的點(diǎn)，AB=AA₁，且平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅰ）證明：E為BB₁的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以A₁為原點(diǎn)，A₁C₁為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明E為BB₁的中點(diǎn)．
（2）求出平面A₁EC的法向量和平面A₁B₁C₁的法向量，利用向量法能求出平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：以A₁為原點(diǎn)，A₁C₁為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
底面為等邊三角形且側(cè)棱與底面垂直，
E是棱BB₁上的點(diǎn)，AB=AA₁，
∴平面AA₁C₁C的法向量

n

=（1，0，0），
設(shè)AB=AA₁=2，A₁（0，0，0），C（0，2，2），
設(shè)B₁E=λ，E（

3

，1，λ），

A1E

=(

3

，1，λ)，

A1C

=（0，2，2），
設(shè)平面A₁EC的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • A1E = 3 x+y+λz=0 m • A1C =2y+2z=0

，
取y=1，得

m

=（

λ-1

3

，1，-1），
∵平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，
∴

m

•

n

=

λ-1

3

=0，
∴B₁E=1，∴E為BB₁的中點(diǎn)．
（2）解：由（1）得平面A₁EC的法向量

m

=（0，1，-1），
又平面A₁B₁C₁的法向量

p

=（0，0，1），
設(shè)平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

-1

2

|=

2

2

，
∴sinθ=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
∴平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角的正弦值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)為線段中點(diǎn)的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．