Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂=4，S₅=30．
（Ⅰ）求a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)A_n為數(shù)列{

an-1

an

}的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式An•

2n+1

＜a對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₂₀₁₅的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，從而可求通項(xiàng)公式a_n=4+（n-2）2=2n（n∈N^*）；
（Ⅱ）設(shè)g（n）=An•

2n+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

a3

）

2n+1

，可證g（n）單調(diào)遞減，從而可得g（n）_max=g（1）=

3

2

．從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題；
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），（20，22，24）；…，每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào)，故b₂₀₁₅是第672組中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，b₂，b₅，b₈，…，b₂₀₁₅，…組成首項(xiàng)b₂=10，公差d=24的等差數(shù)列．從而求得．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
由S₅=30，得a₃=6，所以公差d=2．
所以a_n=4+（n-2）2=2n（n∈N^*）；
（Ⅱ）設(shè)g（n）=An•

2n+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

a3

）

2n+1

，
因?yàn)?span id="c0m17iq" class="MathJye">

g(n+1)

g(n)

=（1-

1

an+1

）

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1，
并且g（n）＞0，
所以g（n）＞g（n+1）．
g（n）單調(diào)遞減，
所以g（n）_max=g（1）=

3

2

．
因?yàn)椴坏仁?span id="ed7bbac" class="MathJye">An•

2n+1

＜a對(duì)一切n∈N^*都成立，
所以a＞

3

2

．
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），（20，22，24）；…，
每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào)，故b₂₀₁₅是第672組中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．
由分組規(guī)律知，b₂，b₅，b₈，…，b₂₀₁₅，…組成首項(xiàng)b₂=10，公差d=24的等差數(shù)列．
其中b₂₀₁₅是這個(gè)數(shù)列的第672項(xiàng)，所以b₂₀₁₅=10+（672-1）×24=16114．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的處理方法，屬于中檔題．