Question

1．若點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上一點(diǎn)，且在點(diǎn)P處的切線與直線y=x-2平行，
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；  
（2）求函數(shù)y=x²-lnx的極小值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求出P的坐標(biāo)，
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)極值和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)${f^'}（x）=2x-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-1}}{x}$，
設(shè)p（x₀，y₀），f′（x₀）=1，
∵在點(diǎn)P處的切線與直線y=x-2平行，
∴由f′（x）=$\frac{{2{x^2}-1}}{x}=1$得x₀=1或${x_0}=-\frac{1}{2}$（舍），代入得y₀=1，
所以 P（1，1）…..（5分）
（2）令f′（x）=0，解得${x_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（舍），
令f′（x）＞0解得$x∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$，函數(shù)的遞增區(qū)間 $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
令f′（x）＜0，解得$x∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，函數(shù)的遞減區(qū)間$（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
則f（x）的極小值為$f（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{1}{2}-ln\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立切線方程關(guān)系是求切點(diǎn)常用的方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力．