Question

11．有下列命題
①f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-4）的單調(diào)減區(qū)間是（2，+∞）；
②若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），則f（x）圖象關于直線x=1對稱；
③函數(shù)f'（x）=lg（x+1）+lg（x-1）是偶函數(shù)；
④設f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，若f'（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點．
其中所有正確命題的序號是．

Answer 1

分析 ①根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性之間的關系進行判斷，
②根據(jù)函數(shù)對稱性的定義進行判斷
③求函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義域關于原點對稱的性質(zhì)進行判斷，
④舉反例，利用函數(shù)極值和導數(shù)的關系進行判斷．

解答 解：①由x²-4＞0得x＞2或x＜-2，即函數(shù)的定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞），
設t=x²-4，則y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的關系得，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，就是函數(shù)t=x²-4的遞增區(qū)間，
∵函數(shù)t=x²-4的遞增區(qū)間是（2，+∞），
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（2，+∞），故①正確；
②若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），則f（x+1）=f（1-x），即f（x）圖象關于直線x=1對稱，故②正確；
③函數(shù)f（x）=lg（x+1）+lg（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\end{array}\right.$得x＞1，即函數(shù)的定義域為（1，+∞），定義域關于原點不對稱，
則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故③錯誤；
④設f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，若f′（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點錯誤，
比如函數(shù)f（x）=x³是增函數(shù)，函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x²，滿足f′（0）=0，但0不是函數(shù)f（x）的極值點，故④錯誤，
故答案為：①②

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的極值和導數(shù)，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．