Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AC∥BP，BM切⊙O于B，BM交CP于M，且CM=MP．
（1）求證：CP與⊙O相切；
（2）已知CP與AB交于N，AB=2，CN=$\sqrt{3}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接BC，OC，證明△OCM≌△OBM，可得∠OCM=90°，即可證明CP與⊙O相切；
（2）由切割線定理可得：CN²=NA•NB，求出NA，利用△ACB∽△CBP求AC的長．

解答 （1）證明：連接BC，OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥BP，
∴∠CBP=90°，
∵CM=MP，
∴MC=MB，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OCM≌△OBM，
∴∠OCM=90°，
∴CP與⊙O相切；
（2）解：由切割線定理可得：CN²=NA•NB，
∵AB=2，CN=$\sqrt{3}$，
∴3=NA•（NA+2），
∴NA=1，
∵AC∥BP，
∴$\frac{AC}{BP}$=$\frac{NA}{NB}$=$\frac{1}{3}$．
設(shè)AC=x，則BP=3x．
∵△ACB∽△CBP，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{BC}{BP}$，
∴BC=$\sqrt{3}$x．
在△ACB中，AB²=AC²+BC²，
∴4=x²+3x²，
∴x=1，
∴AC=1．

點評 本題考查直線與圓相切，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．