Question

16．如圖所示的幾何體由平面PECF截棱長(zhǎng)為2的正方體得到，其中P、C為原正方體的頂點(diǎn)，E、F為原正方體側(cè)棱的中點(diǎn)，正方形ABCD為原正方體的底面，點(diǎn)G為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：平面APC⊥平面PECF；
（2）設(shè)$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BC}$，AB與平面EFG所成的角為θ，當(dāng)θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）時(shí)，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可證BD⊥平面PAC，由四邊形BEFD為平行四邊形得出BD∥EF，故EF∥平面PAC，于是平面APC⊥平面PECF；
（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AB}$和平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞|，根據(jù)θ的范圍得出不等式組解出λ．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BE$\stackrel{∥}{=}$DF，∴四邊形BEFD是平行四邊形，
∴EF∥BD．
∴EF⊥平面PAC．
∵EF?平面PECF，
∴平面APC⊥平面PECF．
（2）以D為原點(diǎn)，以DC，DA，DF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（0，2，0），B（2，2，0），E（2，2，1），F(xiàn)（0，0，1），G（2，2-2λ，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{GE}$=（0，2λ，1）．
設(shè)平面EFG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2y=0}\\{2λy+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2λ）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4{λ}^{2}+2}}$．
∴sinθ=$\frac{1}{\sqrt{4{λ}^{2}+2}}$，∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），∴$\frac{1}{2}＜$$\frac{1}{\sqrt{4{λ}^{2}+2}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得0＜λ＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴λ的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用與線(xiàn)面角的計(jì)算，屬于中檔題．