Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，g（x）=e^x-ax，其中a為正實(shí)數(shù)，若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，e]．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，求出a的最小值；求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤[e^x]_min在區(qū)間（1，+∞）上成立，求出a的范圍，取交集即可．

解答 解：∵f（x）=ax-lnx，（x＞0），
f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若f（x）在（1，+∞）上無最小值，
則f（x）在（1，+∞）單調(diào)，
∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$，或a≤$\frac{1}{x}$，而函數(shù)y=$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上單調(diào)減，
∴x=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a為正實(shí)數(shù)，
故a≥1①，
又∵g（x）=e^x-ax，
∴g′（x）=e^x-a，
∵函數(shù)g（x）=e^x-ax在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g′（x）=e^x-a≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，
∴a≤[e^x]_min在區(qū)間（1，+∞）上成立．
而e^x＞e，
∴a≤e②；
綜合①②，a∈[1，e]，
故答案為：[1，e]．

點(diǎn)評 正確把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化、熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等是解題的關(guān)鍵．