Question

8．如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$的正方形，且SA=SB=SC=SD=4$\sqrt{5}$，則過(guò)點(diǎn)A，B，C，D，S的球的體積為（　�。�

• A． $\frac{125}{3}π$
• B． $\frac{250}{3}$π
• C． $\frac{500}{3}π$
• D． $\frac{550}{3}π$

Answer 1

分析 如圖所示，連接對(duì)角線AC與BD，相交于點(diǎn)O，連接SO并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)A，B，C，D，S的球面于點(diǎn)T，可得SC²=SO•ST，求出ST，即可得出球的半徑，進(jìn)而得出體積．

解答 解：如圖所示，連接對(duì)角線AC與BD，相交于點(diǎn)O，連接SO并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)A，B，C，D，S的球面于點(diǎn)T，
則SC²=SO•ST，
SO=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∴ST=$\frac{（4\sqrt{5}）^{2}}{8}$=10，
設(shè)球的半徑為R，則2R=10，解得R=5．
∴過(guò)點(diǎn)A，B，C，D，S的球的體積V=$\frac{4}{3}π×{5}^{3}$=$\frac{500π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四棱錐的性質(zhì)、球的體積計(jì)算公式、勾股定理與射影定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，射影中檔題．