Question

15．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
（1）若E為DD₁的中點，證明：BD₁∥面EAC
（2）求證：AC⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （1）設AC∩BD=O，則O是BD的中點，要證明BD₁∥面EAC，證明OE∥BD₁即可；
（2）要證AC⊥平面BB₁D₁D，只需證得AC⊥BD，AC⊥D₁D，由正方形的對角線的性質和D₁D⊥底面ABCD，即可得證．

解答 證明：（1）設AC∩BD=O，則O是BD的中點，
∵E為DD₁的中點，
∴OE∥BD₁，
∵BD₁?面EAC，OE?面EAC，
∴BD₁∥面EAC；
（2）∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又BD∩D₁D=D，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．

點評 本題考查空間直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的判定和性質，同時考查運算能力，屬于中檔題．