【題目】如圖,三棱柱中,D的中點(diǎn).

1)證明:平面;

2)若是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且,,平面平面.求平面與側(cè)面所成二面角的正弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)連接,記,連接,證明得到答案.

2)證明,,兩兩互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算平面和平面的法向量,利用向量夾角公式得到答案.

1)連接,記,連接,故中點(diǎn),

D的中點(diǎn),所以,又平面,平面.

平面.

2)取邊中點(diǎn)點(diǎn)O,連接,,因?yàn)?/span>,為等邊三角形,,所以,

又平面平面,且平面平面,

平面,所以,,兩兩互相垂直.

故以O為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

則由題意可知,,.

設(shè)平面的法向量,則,即

,解得,得.

顯然平面的一個(gè)法向量為.

∴二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在生活中,我們?吹礁鞣N各樣的簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚.現(xiàn)有直徑為的圓面,在圓周上選定一個(gè)點(diǎn)固定在水平的地面上,然后將圓面撐起,使得圓面與南北方向的某一直線平行,做成簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚.設(shè)正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成角,若要使所遮陰影面的面積最大,那么圓面與陰影面所成角的大小為(

A.B.C.D.

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1)藥業(yè)公司為了解一新藥品對(duì)該疾病的療效,選擇了200名患者,隨機(jī)平均分為兩組作為實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組,實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí),有顯著療效的共110人,實(shí)驗(yàn)組中有顯著療效的比率為70.請(qǐng)完成如下的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%把握認(rèn)為該藥品對(duì)該疾病有顯著療效;

實(shí)驗(yàn)組

對(duì)照組

合計(jì)

有顯著療效

無(wú)顯著療效

合計(jì)

200

2)藥業(yè)公司最多能引進(jìn)3條新藥品的生產(chǎn)線,據(jù)測(cè)算,公司按如下條件運(yùn)行生產(chǎn)線:

該疾病患者人數(shù)(單位:萬(wàn))

最多可運(yùn)行生產(chǎn)線數(shù)

1

2

3

每運(yùn)行一條生產(chǎn)線,可產(chǎn)生年利潤(rùn)6000萬(wàn)元,沒運(yùn)行的生產(chǎn)線毎條每年要虧損1000萬(wàn)元.根據(jù)該藥業(yè)公司這10年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),將患者人數(shù)在以上三段的頻率視為相應(yīng)段的概率、假設(shè)各年的患者人數(shù)相互獨(dú)立.欲使該藥業(yè)公司年總利潤(rùn)的期望值達(dá)到最大,應(yīng)引進(jìn)多少條生產(chǎn)線?

附:參考公式:,其中.

0.05

0.025

0.010

0.001

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】已知直線l3x+4y+m=0,圓Cx2+y24x+2=0,則圓C的半徑r=_____;若在圓C上存在兩點(diǎn)A,B,在直線l上存在一點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____

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購(gòu)買量

人數(shù)

100

300

400

150

50

將煩率視為概率

1)試求消費(fèi)者粽子購(gòu)買量不低于300克的概率;

2)若該市有100萬(wàn)名消費(fèi)者,請(qǐng)估計(jì)該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準(zhǔn)備多少千克棕子才能滿足市場(chǎng)需求(以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的購(gòu)買量).

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A.B.C.D.

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1)求的長(zhǎng);

2)求點(diǎn)AB兩點(diǎn)的距離之積.

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1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這個(gè)零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果精確到);

2)若從這個(gè)零件中尺寸位于之外的零件中隨機(jī)抽取個(gè),設(shè)表示尺寸在上的零件個(gè)數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;

3)已知尺寸在上的零件為一等品,否則為二等品,將這個(gè)零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售,每箱個(gè). 企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對(duì)每箱的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn),已知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為. 若檢驗(yàn),則將檢驗(yàn)出的二等品更換為一等品;若不檢驗(yàn),如果有二等品進(jìn)入買家手中,企業(yè)要向買家對(duì)每個(gè)二等品支付元的賠償費(fèi)用. 現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)抽檢了個(gè),結(jié)果有個(gè)二等品,以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值作為決策依據(jù),該企業(yè)是否對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)?請(qǐng)說明理由.

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