Question

10．在△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，$\sqrt{3}$b=c，則tanA的值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得cosBsinC=-3sinBcosC，根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)整理可得：2a²+b²=c²，結(jié)合已知$\sqrt{3}$b=c，解得a=b，可得A為銳角，進(jìn)而利用余弦定理可求cosA的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，tanA的值．

解答 解：∵sinA+2sinBcosC=sin（B+C）+2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+2sinBcosC=0，
∴cosBsinC=-3sinBcosC，
∴ccosB=-3bcosC，可得：c•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=（-3）b•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：2a²+b²=c²，
又∵$\sqrt{3}$b=c，
∴2a²+b²=c²=3b²，解得a=b，可得A為銳角，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+3^{2}-^{2}}{2b×\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sinA=$\frac{1}{2}$，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．