Question

20．某火鍋店為了了解氣溫對(duì)營(yíng)業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份中5天的日營(yíng)業(yè)額y（單位：千元）與該地當(dāng)日最低氣溫x（單位：℃）的數(shù)據(jù)，如表：

x	2	5	8	9	11
y	12	10	8	8	7

（Ⅰ）求y關(guān)于x的回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（Ⅱ）判定y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；若該地1月份某天的最低氣溫為6℃，用所求回歸方程預(yù)測(cè)該店當(dāng)日的營(yíng)業(yè)額．
（Ⅲ）設(shè)該地1月份的日最低氣溫X～N（μ，δ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline{x}$，δ²近似為樣本方差s²，求P（3.8＜X＜13.4）
附：①回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．
②$\sqrt{10}$≈3.2，$\sqrt{3.2}$≈1.8．若X～N（μ，δ²），則P（μ-δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．

Answer 1

分析 （I）利用回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程；
（II）根據(jù)$\stackrel{∧}$的符號(hào)判斷，把x=6代入回歸方程計(jì)算預(yù)測(cè)值；
（III）求出樣本的方差，根據(jù)正態(tài)分布知識(shí)得P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）．

解答 解：（I）解：（I）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+5+8+9+11）=7，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}×$（12+10+8+8+7）=9．
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=4+25+64+81+121=295，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=24+50+64+72+77=287，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{287-5×7×9}{295-5×{7}^{2}}$=-$\frac{28}{50}$=-0.56．
$\stackrel{∧}{a}$=9-（-0.56）×7=12.92．
∴回歸方程為：$\stackrel{∧}{y}$=-0.56x+12.92．
（II）∵$\stackrel{∧}$=-0.56＜0，∴y與x之間是負(fù)相關(guān)．
當(dāng)x=6時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=-0.56×6+12.92=9.56．
∴該店當(dāng)日的營(yíng)業(yè)額約為9.56千元．
（III）樣本方差s²=$\frac{1}{5}$×[25+4+1+4+16]=10，
∴最低氣溫X～N（7，10），
∴P（3.8＜X＜10.2）=0.6826，P（0，6＜X＜13.4）=0.9544，
∴P（10.2＜X＜13.4）=$\frac{1}{2}$（0.9544-0.6826）=0.1359．
∴P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）=0.6826+0.1359=0.8185．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解，數(shù)值預(yù)測(cè)，正態(tài)分布，屬于中檔題．