Question

14．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+2si{n}^{2}θ}}$，且曲線C的左焦點F在直線l上．
（1）求實數m和曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$．

Answer 1

分析 （1）將曲線C的極坐標方程兩邊平方，去分母，根據極坐標與直角坐標的對應關系求出C的直角坐標方程，得出左焦點，代入直線方程求出m；
（2）將直線l的參數方程代入曲線C的普通方程，利用參數的幾何意義求出|AF|，|BF|．

解答 解：（1）直線l的普非常為x-m=y，即x-y-m=0，
∵曲線C的極坐標方程為ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+2si{n}^{2}θ}}$，即ρ²+2ρ²sin²θ=12，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+3y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴曲線C的左焦點F為（-2$\sqrt{2}$，0）．
∵F在直線l上，∴-2$\sqrt{2}$-m=0，∴m=-2$\sqrt{2}$．
（2）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
代入曲線C的方程x²+3y²=12得：t²-2t-2=0．
∴t₁=1+$\sqrt{3}$，t₂=1-$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{|t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的轉化，直線參數方程的幾何意義與應用，屬于中檔題．