Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}中，2S_n=n²+n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=2^a_n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出．
（II）b_n=2^a_n•a_n=n•2ⁿ．“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=n²+n，∴n=1時(shí)，2a₁=1+1，解得a₁=1．n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]，化為：a_n=n．n=1時(shí)也成立，
∴a_n=n．
（II）b_n=2^a_n•a_n=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．