Question

19．若關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+3{x}^{2}-x-3＞0}\\{{x}^{2}-2ax-1≤0}\end{array}\right.$（a＞0）的整數(shù)解有且僅有一個(gè)，則a的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]
• B． [$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）
• C． （$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）
• D． （$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 分別求出不等式的解，再根據(jù)整數(shù)解有且僅有一個(gè)，得到2≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜3，解得即可．

解答 解：由x³+3x²-x-3=x（x²-1）+3（x²-1）=（x²-1）（x+3）=（x+3）（x+1）（x-1）＞0，解得-3＜x＜-1或x＞1
由x²-2ax-1≤0，即（x-a）²≤1+a²，解得a-$\sqrt{1+{a}^{2}}$≤x≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
∴-1＜a-$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜0，a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＞1
∵整數(shù)解有且僅有一個(gè)，
∴x=2，
∴2≤a+$\sqrt{1+{a}^{2}}$＜3，
解得$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{4}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法以及參數(shù)的取值范圍，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．