Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AC₁=B₁C=B₁C₁=2，AC⊥AC₁，B₁C⊥B₁C₁，O為CC₁的中點．
（1）求證：BB₁⊥AB₁；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，求平面ABC與平面AOB₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面面垂直的判定定理證明BB₁⊥平面AOB₁即可
（Ⅱ）建立空間坐標系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法結合二面角的余弦值求出F的位置即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AC=AC₁=B₁C=B₁C₁=2，AC⊥AC₁，B₁C⊥B₁C₁，O為CC₁的中點，
∴AO⊥CC₁，OB₁⊥CC₁，
又∵AO∩OB₁=O，
∴CC₁⊥平面AOB₁，
∵BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面AOB₁，
∵AB₁?平面AOB₁，
∴BB₁⊥AB₁；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，則AB₁=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{4}=2$，
∵AO=B₁O=$\sqrt{2}$，
∴AO²+B₁O²=2+2=4=（AB₁）²，
∴△AOB₁是直角三角形，
則AO⊥OB₁，
建立以O為坐標原點，OC，OB₁，OA分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則平面AOB₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則A（0，0，$\sqrt{2}$），C（$\sqrt{2}$，0，0），B（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
則$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，0，-$\sqrt{2}$），
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$z=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即平面ABC與平面AOB₁所成二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的求解，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大．