Question

16．如圖，長為2$\sqrt{3}$，寬為$\frac{1}{2}$的矩形ABCD，以A、B為焦點(diǎn)的橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1恰好過C、D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若直線l：y=kx+3與橢圓M相交于P、Q兩點(diǎn)，求S_△POQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（c，0），推出C（c，$\frac{b^2}{a}$）利用已知條件列出方程組即可求解M的方程．
（2）將l：y=kx+3代入 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，利用韋達(dá)定理以及弦長公式，點(diǎn)到平面的距離的距離，表示三角形的面積，利用基本不等式求解即可．

解答 （1）設(shè)B（c，0），由條件知，C（c，$\frac{b^2}{a}$）．（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{b^2}{a}=\frac{1}{2}\\ c=\sqrt{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=（3分）
故M的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．（4分）
（2）將l：y=kx+3代入 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
（1+4k²）x²+24kx+32=0．（5分）
當(dāng)△=64（k²-2）＞0，即k²＞2時(shí)，（6分）
從而|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{64（{k^2}-2）}}}{{4{k^2}+1}}$．（7分）
又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=$\frac{3}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，（8分）
所以△POQ的面積S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d|PQ|=$\frac{{12\sqrt{{k^2}-2}}}{{4{k^2}+1}}$．（9分）
設(shè)$\sqrt{{k^2}-2}$=t，則t＞0，S_△OPQ=$\frac{12t}{{4{t^2}+9}}=\frac{12}{{4t+\frac{9}{t}}}≤\frac{12}{{2\sqrt{4t•\frac{9}{t}}}}=1$．
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)等號成立，且滿足△＞0，
所以，△POQ的面積最大值為1（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．