【題目】如圖,在三棱椎P﹣ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2

(1)求證:平面ABC⊥平面APC.
(2)若動點M在底面三角形ABC內(nèi)(包括邊界)運動,使二面角M﹣PA﹣C的余弦值為 ,求此時∠MAB的余弦值.

【答案】
(1)證明:取AC中點O,連結(jié)OP,OB,

∵AP=CP,∴OP⊥OC,

∵在三棱椎P﹣ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2

∴OP=2 ,OB=2,PB=4,∴PB2=OP2+OB2,△POB是直角三角形,

∴OP⊥OB,

又OC與OB交于點O,∴OP⊥平面APC.


(2)解:以O為坐標原點,OB,OC,OP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,

A(0,﹣2,0),B(2,0,0),P(0,0,2 ),

平面PAC的法向量 =(1,0,0),

設平面PAM的法向量 =(x,y,z),M(m,n,0),

=(0,2,2 ), =(m,n+2,0),

,取z=﹣1,得 =( ),

∵二面角M﹣PA﹣C的余弦值為 ,

∴|cos< >|= = =

整理,得(n+2)2=9m2

∴n+2=3m或n+2=﹣3m(舍),

∴cos∠MAB= = = =


【解析】(1)取AC中點O,連結(jié)OP,OB,推導出OP⊥OC,OP⊥OB,由此能證明OP⊥平面APC.(2)以O為坐標原點,OB,OC,OP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出∠MAB的余弦值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

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