Question

6．函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{2-x}{x-1}}$的定義域為集合A，關(guān)于x的不等式${3^{2ax}}＜{3^{a+x}}（a＞\frac{1}{2}）$的解集為B，求使A∩B=A的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出集合A，再解不等式求出集合B，A∩B=A，說明A⊆B，即可解得答案．

解答 解：由題意：$\sqrt{\frac{2-x}{x-1}}$的定義域為集合A，
∴A={x|1＜x≤2}，
∵不等式${3^{2ax}}＜{3^{a+x}}（a＞\frac{1}{2}）$的解集為B，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：
可得：2ax＜a+x（a$＞\frac{1}{2}$）
⇒x（2a-1）＜a
∵a$＞\frac{1}{2}$，
∴2a-1＞0，
∴x＜$\frac{a}{2a-1}$，
所以：B={x|x＜$\frac{a}{2a-1}$}，
由題意：A∩B=A，說明A⊆B，
∴$\frac{a}{2a-1}＞2$，
解得：$a＜\frac{2}{3}$．
故實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$．

點評 本題考查了定義域的求法，交集及其運算，利用了指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解不等式．屬于中檔題．