Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$
（1）求角B的大小
（2）求sinA+sinC的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式題中所給條件可得S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{1}{2}$acsinB，可求出tanB的值，再由三角形內(nèi)角的范圍可求出角B的值．
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為π將角A，C轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角表示，然后根據(jù)兩角和的正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得答案．

解答 解：（1）由題意可知$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2accosB．
所以tanB=$\sqrt{3}$．
因?yàn)?＜B＜π，
所以B=$\frac{π}{3}$；
（2）由已知sinA+sinC
=sinA+sin（π-B-A）
=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查三角運(yùn)算求解能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．