Question

2．已知三次函數(shù)f（x）=ax³+bx（a＞0），下列命題正確的是①②．
①函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱；
②以A（x_A，f（x_A）），B（x_B，f（x_B））兩不同的點(diǎn)為切點(diǎn)作兩條互相平行的切線，分別與f（x）交于C，D兩點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足關(guān)系（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1；
③以A（x₀，f（x₀））為切點(diǎn)，作切線與f（x）圖象交于點(diǎn)B，再以點(diǎn)B為切點(diǎn)作直線與f（x）圖象交于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C作切點(diǎn)作直線與f（x）圖象交于點(diǎn)D，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)為-6x₀；
④若b=-2$\sqrt{2}$，函數(shù)f（x）圖象上存在四點(diǎn)A，B，C，D，使得以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形有且僅有一個(gè)正方形．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可得到函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱；求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程x_A=-x_B，x_C=-2x_A，x_D=-2x_B，即可求得（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1；由x_B=-2x₀，x_C=-2x_B，x_D=-2x_C，可得x_D=-8x₀，根據(jù)函數(shù)的圖象可知這樣的正方形要么不存在，要么是偶數(shù)個(gè)存在．

解答 解：①三次函數(shù)f（x）=ax³+bx（a＞0），
∴f（-x）=-ax³-bx=-f（x），
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
故①正確．
②由f（x）=ax³+bx
求導(dǎo)f′（x）=3ax²+b，
A（x_A，f（x_A）），B（x_B，f（x_B））兩不同的點(diǎn)的為切點(diǎn)作兩條互相平行的切線，
∴f′（x_A）=f′（x_B）
∵A，B為不同的兩點(diǎn)，
∴x_A=-x_B，
根據(jù)①可知，f（x_A）=-f（x_B）
以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為：y-（$a{x}_{A}^{3}$+bx_A）=（3a${x}_{A}^{2}$+b）（x-x_A），
整理得：y=（3a${x}_{A}^{2}$+b）x-2$a{x}_{A}^{3}$，
代入f（x）=ax³+bx可得：（x+2x_A）（x-x_A）²=0，
∴x_C=-2x_A，
同理可得：x_D=-2x_B，
又∵x_A=-x_B，
∴（x_C-x_B）：（x_B-x_A）：（x_A-x_D）=1：2：1，
∴②正確，
∵③以A（x₀，f（x₀））為切點(diǎn)，作切線與f（x）圖象交于點(diǎn)B，
再以點(diǎn)B為切點(diǎn)作直線與f（x）圖象交于點(diǎn)C，
再以點(diǎn)C為切點(diǎn)作直線與f（x）圖象交于點(diǎn)D，
此時(shí)滿足x_B=-2x₀，x_C=-2x_B，x_D=-2x_C，
∴x_D=-8x₀，
③錯(cuò)誤．
④假設(shè)函數(shù)f（x）圖象上存在四點(diǎn)A，B，C，D，
使得以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形為正方形．
根據(jù)函數(shù)f（x）的函數(shù)圖象的特點(diǎn)可知，
這樣的正方形要么不存在，要么是偶數(shù)個(gè)存在．
∴④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題的能力，屬于難題．