分析 (I)對(duì)任意的正整數(shù)n,都有Sn=$\frac{3}{2}$an+n-3成立.n=1時(shí),a1=S1=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2,解得a1.n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,化為:an=3an-1-2,變形為an-1=3(an-1-1),即可證明.
(II)由(I)可得:an-1=3n,因此an=3n+1,nan=n•3n+n.再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式即可得出.
解答 (I)證明:∵對(duì)任意的正整數(shù)n,都有Sn=$\frac{3}{2}$an+n-3成立.
∴n=1時(shí),a1=S1=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-2,解得a1=4.
n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=$\frac{3}{2}$an+n-3-$(\frac{3}{2}{a}_{n-1}+n-4)$,化為:an=3an-1-2,
變形為an-1=3(an-1-1),
∴{an-1}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為3,公比為3.
(II)解:由(I)可得:an-1=3n,因此an=3n+1,∴nan=n•3n+n.
∴數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn=3+2×32+3×33+…+n•3n+$\frac{n(n+1)}{2}$.
設(shè)An=3+2×32+3×33+…+n•3n,
則3An=32+2×33+…+(n-1)•3n+n•3n+1,
∴-2An=3+32+…+3n-n•3n+1=$\frac{3({3}^{n}-1)}{3-1}$-n•3n+1,
可得An=$\frac{3}{4}$+$\frac{(2n-1)•{3}^{n+1}}{4}$,
∴數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn=$\frac{3}{4}$+$\frac{(2n-1)•{3}^{n+1}}{4}$+$\frac{n(n+1)}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 5,4 | B. | 5,3 | C. | 3,5 | D. | 4,5 |
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A. | $\frac{1}{a}>\frac{1}$ | B. | a2>b2 | C. | 2a>2b | D. | lga>lgb |
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