Question

7．設函數(shù)f（x）=e^x（x-ae^x）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）恰有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），則下列說法不正確的是（　�。�

• A． 0＜a＜$\frac{1}{2}$
• B． -1＜x₁＜0
• C． -$\frac{1}{2}$＜f（x₁）＜0
• D． f（x₁）+f（x₂）＞0

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對函數(shù)f（x）求導數(shù)，得出導數(shù)f′（x）=0由兩不等實根，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有兩個交點的問題，結合圖象即可得出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x（x-ae^x），
∴f′（x）=（x+1-2a•e^x）e^x，
由于函數(shù)f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，
即x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩不等實根，
即方程x+1-2ae^x=0，且a≠0，
∴$\frac{x+1}{2a}$=e^x；
設y₁=$\frac{x+1}{2a}$（a≠0），y₂=e^x，
在同一坐標系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示；

要使這兩個函數(shù)有2個不同的交點，
應滿足 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}＞0}\\{\frac{1}{2a}＞1}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
所以a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$），
結合圖象，D錯誤，
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結合的應用問題，是綜合性題目．