Question

3．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果存在非零常數(shù)T，對于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），則稱函數(shù)y=f（x）是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f（x）的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”； ③函數(shù)f（x）=2^-x是“似周期函數(shù)”； ④如果函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意，首先理解似周期函數(shù)的定義，從而解得．

解答 解：①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為-1，
則f（x-1）=-f（x），即f（x-1）=-f（x）=-（-f（x+1））=f（x+1）；
故它是周期為2的周期函數(shù)；故①正確，；
②對于“似周期”為T的函數(shù)y=f（x），若f（T）＞0，則f（2015T）=T²⁰¹⁴′f（T）＞0；故②正確，
③若函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”，
則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T•f（x），
即x+T=Tx；故（1-T）x+T=0恒成立；
故不存在T．故假設(shè)不成立，故③錯誤；
④若函數(shù)f（x）=2^-x是“似周期函數(shù)”，
則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T•f（x），
即2^-x-T=T•2^-x，
即（T-2^-T）•2^-x=0；
而令y=x-2^-x，作圖象如下，
 
故存在T＞0，使T-2^-T=0；故④正確；
⑤若函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，
則存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=T•f（x），
即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；
故T=1或T=-1；
故“ω=kπ，k∈Z”．故⑤正確；
故選：D．

點評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，正確理解似周期函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．