Question

7．已知函數(shù)f（x）定義域為[-1，1]，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義域賦值，求出f（0）=0，令y=0，根據(jù)定義判斷其奇偶性．
（2）根據(jù)關(guān)系式，利用定義判斷即可．
（3）利用單調(diào)性求出f（x）在其定義域內(nèi)的最大值，把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，即可求解．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）定義域為[-1，1]，對任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0時，解得f（0）=0．
令y=-x，則有：f（0）=f（x）+f（-x），
化簡得：f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）的奇函數(shù)；
（2）∵x＞0時，有f（x）＞0．
f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）由（2）可知f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
f（x）_max=f（1）=1，使f（x）＜m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0．
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，
要使g（a）＞0恒成立，則
$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$
解得：m＞2或m＜-2
所以實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）；

點評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的判斷，利用了賦值法．以及恒等式轉(zhuǎn)化為不等式的問題．屬于中檔題．