Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax²+ax，a為正實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證：f（$\frac{1}{a}$）≤0；
（3）若函數(shù)f（x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線方程；
（2）構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可證明結(jié)論；
（3）由題意可知，函數(shù)f（x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)為（1，0），則f′（1）=0，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-2x²+2x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+2，
∴f′（1）=-1，
∵f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=-x+1；
（2）證明：f（$\frac{1}{a}$）=-lna-$\frac{1}{a}$+1（a＞0），
令g（x）=-lnx-$\frac{1}{x}$+1（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x＞1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值，即最大值，
∴g（x）≤g（1）=0，
∴f（$\frac{1}{a}$）≤0；
（3）解：由題意可知，函數(shù)f（x）有且只有1個(gè)零點(diǎn)為1，
則f′（1）=0，即1-2a+a=0
∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．