Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤0}\\{1-x，0＜x＜1}\\{\sqrt{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），則實數(shù)a+3b+c的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{11}{4}$-ln2]
• B． （-∞，$\frac{5}{4}$-ln2]
• C． （-∞，$\frac{5}{2}$-e${\;}^{\frac{1}{2}}$]
• D． （-∞，$\frac{15}{4}$-e${\;}^{\frac{1}{4}}$]

Answer 1

分析 設f（a）=f（b）=f（c）=t，作出函數(shù)的圖象，結合圖象判斷0＜t＜1，分別用t表示a，b，c，然后構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值即可求a+3b+c的取值范圍．

解答 解：先作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵a＜b＜c．f（a）=f（b）=f（c），
設f（a）=f（b）=f（c）=t，
則0＜t＜1，
則由f（a）=e^a=t，得a=lnt，
由f（b）=1-b=t，得b=1-t，
由f（c）=$\sqrt{c-1}$=t，得c=t²+1，
則a+3b+c=lnt+3（1-t）+t²+1=t²-3t+lnt+4
設g（t）=t²-3t+lnt+4，0＜t＜1，
函數(shù)的導數(shù)g′（t）=2t-3+$\frac{1}{t}$=$\frac{2{t}^{2}-3t+1}{t}$=$\frac{（2t-1）（t-1）}{t}$，
由g′（t）=0得t=$\frac{1}{2}$，
當0＜t＜$\frac{1}{2}$時，g′（t）＞0，此時函數(shù)遞增，
當$\frac{1}{2}$＜t＜1時，g′（t）＜0，此時函數(shù)遞減，
即當t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（t）取得極大值同時也是最大值g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{2}$+ln$\frac{1}{2}$+4=$\frac{11}{4}$-ln2，
∴g（t）≤$\frac{11}{4}$-ln2，
即a+3b+c的取值范圍是（-∞，$\frac{11}{4}$-ln2]，
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，設f（a）=f（b）=f（c）=t，利用t表示a，b，c，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．