Question

18．求和：S_n=$\frac{1}{1×5}$+$\frac{1}{3×7}$+$\frac{1}{5×9}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析所給數(shù)列的通項可得a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$），將其代入S_n中可得S_n的值．

解答 解：S_n=$\frac{1}{1×5}$+$\frac{1}{3×7}$+$\frac{1}{5×9}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$，
=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]，
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$]，
=$\frac{n（4n+5）}{3（2n+1）（2n+3）}$．
∴S_n=$\frac{n（4n+5）}{3（2n+1）（2n+3）}$．

點(diǎn)評 本題考查裂項法求數(shù)列的前n項和，解題的關(guān)鍵是分析所給數(shù)列的通項特點(diǎn)，尋求解題的突破，屬于中檔題．