Question

已知數(shù)列{a_n}的a₁=2，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，且對任意的n∈N₊，n≥2，a_n總是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)，則下列各式成立的是（　　）
①S_n•S_n+2＞S²_n+1；
②S_n•S_n+2＜S²_n+1；
③S_n+S_n+2＜2S_n+1
④S_n+S_n+2＞2S_n+1．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：n≥2，a_n總是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)，可得2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1，由此能導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是2，公比是

1

2

的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求出S_n=4-(

1

2

)n-2，利用作差法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵n≥2，a_n總是3S_n-4和2-

5

2

Sn-1的等差中項(xiàng)，
∴2a_n=3S_n-4+2-

5

2

Sn-1
∴2a_n=3S_n-

5

2

Sn-1-2
∴a_n+S_n-4=0，（n≥2）
∴當(dāng)n≥3時(shí)，a_n-1+S_n-1-4=0
∴a_n-a_n-1+a_n=0即2a_n=a_n-1，（n≥3）
又a₂+S₂-4=0，
∴a₂=1．
∴a_n=(

1

2

)n-2，
∴S_n=4-(

1

2

)n-2，
∴S_n•S_n+2-S²_n+1=16-20•(

1

2

)n+4•(

1

2

)2n-16+16•(

1

2

)n+4•(

1

2

)2n=-4•(

1

2

)n＜0，即②正確；
S_n+S_n+2-2S_n+1=4-(

1

2

)n-2+4-(

1

2

)n-2[4-(

1

2

)n-1]＜0，即③正確．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．